Corso·Lezione 4·Strumenti matematici

Proporzioni e percentuali

Come riconosci se due grandezze variano in modo diretto, inverso o percentuale?

25 minutiattività manipolabile2 domande

Obiettivi

01Distinguere proporzionalità diretta e inversa
02Calcolare parte, totale e percentuale
03Gestire variazioni successive

Proporzioni e percentuali descrivono confronti fra quantità. Il primo passo non è scrivere una croce di prodotti, ma riconoscere quale grandezza resta costante e quale valore costituisce la base del confronto.

Relazione diretta e inversa

Nella proporzionalità diretta il rapporto y/x resta costante: se x raddoppia, anche y raddoppia. Nella relazione inversa resta costante il prodotto x·y: a distanza fissata, raddoppiare la velocità dimezza il tempo.

Osserva sempre l’andamento atteso prima di calcolare. Se il risultato varia nella direzione opposta a quella prevista, hai probabilmente scelto il modello sbagliato.

Diretta: y = kx
Inversa: y = k/x
Le unità di k spiegano la relazione

Percentuale, parte e totale

Una percentuale è una frazione con denominatore cento. Il 15% equivale a 0,15; per trovare la parte si moltiplica il totale per 0,15. Per ricavare la percentuale si divide la parte per il totale e si moltiplica per 100.

La parola importante è ‘rispetto a’. Un aumento di 15 su un valore iniziale di 20 è 15/20 = 75%; lo stesso aumento su una base di 100 sarebbe soltanto il 15%.

parte = totale × p/100
p = parte/totale × 100
totale = parte/(p/100)

Variazioni successive

Aumentare del 20% significa moltiplicare per 1,20; diminuire del 20% significa moltiplicare per 0,80. Applicati in successione danno 0,96, non 1: la seconda percentuale usa una base diversa.

Per risalire al valore iniziale dividi per il fattore complessivo. Se il valore dopo un aumento del 25% è 100, il valore iniziale è 100/1,25 = 80.

Percentuali: attenzione alla base

Due situazioni aeronautiche mostrano perché individuare la base giusta non è un dettaglio. Prima: una pista richiede 4000 m di lunghezza di decollo in condizioni standard, ma una pendenza in salita dell'1% aumenta la lunghezza richiesta del 10%. La lunghezza corretta non è 4000 + 10 m, ma 4000 + 10% di 4000 = 4000 + 400 = 4400 m: il 10% si applica al valore di partenza, non al numero "1" della pendenza.

Seconda situazione, più insidiosa: un serbatoio contiene 2000 L in totale, e la riserva obbligatoria è il 25% del carburante di volo (non del totale). Se chiami x il carburante di volo, il totale è x + 25% di x = 1,25x. Da 2000 = 1,25x segue x = 1600 L di carburante di volo, e la riserva è 2000 − 1600 = 400 L. Calcolare invece "25% di 2000 = 500 L" come riserva è un errore comune: userebbe il totale come base al posto del carburante di volo, che è la grandezza a cui il 25% si riferisce davvero.

Prima identifica la base e il tipo di relazione

Nella proporzionalità diretta resta costante il rapporto; in quella inversa resta costante il prodotto. Una percentuale è un rapporto riferito a cento e richiede sempre una base esplicita.

Formulario

y=kx\qquad\text{oppure}\qquad y=\frac{k}{x}

Percentuale

\text{parte}=\text{totale}\cdot\frac{p}{100}

Variazione percentuale

\Delta_{\%}=\frac{V_f-V_i}{V_i}\cdot100

$k$: costante di proporzionalità
$p$: percentuale (%)

Esempio svolto

Quattro elementi costano 20 €. Quanto costano sette elementi e quale aumento percentuale rappresentano?

01
Prezzo unitario: 20 ÷ 4 = 5 €
02
Costo di sette elementi: 7 × 5 = 35 €
03
Aumento: 35 − 20 = 15 €
04
Percentuale rispetto a 20 €: 15/20 × 100 = 75%

Risultato35 €; aumento del 75%

Attività: diretta o inversa?

Cambia la costante k con lo slider, poi trascina i due punti: quello blu sulla retta (proporzionalità diretta) e quello rosso sulla curva (proporzionalità inversa). Osserva che il rapporto y/x resta sempre k sulla retta, mentre il prodotto x·y resta sempre k sulla curva.

k: 2,0
diretta: y / x: 2,0
inversa: x · y: 2,0