Corso·Lezione 10·Geometria e trigonometria

Trigonometria nel triangolo rettangolo

Hai un angolo e un lato: quale rapporto scegli fra seno, coseno e tangente?

25 minutiattività manipolabile2 domande

Obiettivi

01Identificare cateto opposto e cateto adiacente rispetto a un angolo
02Scegliere la funzione trigonometrica corretta
03Controllare che la calcolatrice sia impostata in gradi (DEG) e non in radianti (RAD)

La trigonometria del triangolo rettangolo collega angoli e rapporti fra lati. Non è un insieme di tasti della calcolatrice: il disegno e la scelta del rapporto vengono prima del calcolo.

I nomi dipendono dall'angolo

L'ipotenusa è sempre il lato opposto all'angolo retto, ed è sempre il lato più lungo. I nomi "opposto" e "adiacente" dipendono invece dall'angolo θ che stai considerando: il cateto opposto non tocca θ, quello adiacente lo tocca ma non è l'ipotenusa.

Seno, coseno e tangente sono rapporti fra lunghezze: numeratore e denominatore hanno la stessa unità, quindi il rapporto è un numero puro, senza unità di misura. Per un angolo acuto, seno e coseno sono sempre compresi fra 0 e 1.

Scegliere la funzione

Chiediti quali due lati sono coinvolti nel problema. Se compaiono opposto e ipotenusa usa il seno; adiacente e ipotenusa richiedono il coseno; opposto e adiacente richiedono la tangente.

Se stai cercando un lato, usa la funzione diretta e ricava il lato per moltiplicazione o divisione. Se stai cercando un angolo, usa la funzione inversa: θ = arcsin(opp/ip), arccos(adi/ip) oppure arctan(opp/adi).

Il materiale PPL/ATPL che userai più avanti è quasi sempre in inglese: può aiutarti il mnemonico anglosassone SOH-CAH-TOA, dove ogni terzina di lettere richiama una funzione e i due lati coinvolti (S-O-H: Sine, Opposite, Hypotenuse; C-A-H: Cosine, Adjacent, Hypotenuse; T-O-A: Tangent, Opposite, Adjacent).

SOH → sin θ = opposto / ipotenusa
CAH → cos θ = adiacente / ipotenusa
TOA → tan θ = opposto / adiacente

Gradi, radianti e plausibilità

In questo corso gli angoli sono espressi in gradi: verifica sempre che sul display della calcolatrice compaia DEG e non RAD, perché lo stesso numero produce un risultato completamente diverso nelle due modalità. Un controllo di plausibilità aiuta a scoprire l'errore: per θ vicino a 0°, il cateto opposto deve essere piccolo e l'adiacente quasi uguale all'ipotenusa; per θ vicino a 90° vale il contrario. Questa immagine geometrica è un controllo più affidabile della sola memoria.

I nomi dipendono dall'angolo scelto

Opposto e adiacente cambiano quando cambia l'angolo di riferimento; l'ipotenusa resta sempre il lato più lungo, opposto all'angolo retto.

Formulario

\sin\theta=\frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{ip}}\qquad \cos\theta=\frac{\mathrm{adi}}{\mathrm{ip}}\qquad \tan\theta=\frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{adi}}

Ricavare un lato

\mathrm{opp}=\mathrm{ip}\sin\theta\qquad\mathrm{adi}=\mathrm{ip}\cos\theta

Ricavare l'angolo

\theta=\arcsin\!\left(\frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{ip}}\right)

$\theta$: angolo considerato (°)
$\mathrm{ip}$: ipotenusa, sempre il lato più lungo
$\mathrm{opp}, \mathrm{adi}$: cateto opposto e adiacente rispetto a θ

Esempio svolto

Ipotenusa 10 m, angolo 30°: quanto misura il cateto opposto?

01
Imposta la relazione: sin 30° = opp / 10
02
sin 30° = 0,5
03
opp = 10 × 0,5 = 5 m

Risultato5 m

Attività: il cerchio goniometrico

Trascina il punto sulla circonferenza (oppure selezionalo con Tab e muovilo con le frecce della tastiera) e osserva come cambiano l'angolo e i valori di seno e coseno.

θ: 0°
sin θ: 0,00
cos θ: 1,00